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教學創意百寶箱
七橋上遇到歐拉!
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台南市立永康國中 林柏寬 2015-10-25
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  歐拉是十八世紀傑出的數學家,也是有史以來最偉大的數學家之一。法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這樣評價歐拉,『讀歐拉的著作,在任何意義上,他都是我們的大師。』

      正因為歐拉的偉大與不朽,當我選擇哥尼斯堡(Konnigsberg)的七橋問題當作閱讀文本時,心中惶恐萬分。擔憂我的學生能在我的教材佈題引導下,啟發什麼?學生們的表現能有幾分歐拉的神韻?更因為歐拉給了七橋問題斬釘截鐵的答案,這個問題無解!無論用什麼方法都無法依序走完七座橋後,又回到原出發點。我更是擔憂學生們的課堂表現會不會只是淪為不斷用筆試驗行走路線可不可行,而沒有得到任何啟發。


圖1

    在共同備課的老師建議下,考量閱讀理解的本質意涵,我們希望學生們透過閱讀文本與觀看文本圖片(如圖1)中所呈現出哥尼斯堡的相對地理位置,我在第一題分組合作討論中佈了此題,請將『島』視為一個點,連接的『橋』視為一條線(直線或曲線),把文字中所描繪的哥尼斯堡(四個小島與七座橋)畫出簡單的示意圖。期盼藉此找尋出學生們對於閱讀文字的盲點所在,增進其閱讀理解能力。

    就在教學演示的前一天,我反覆思索要學生們畫出簡單示意圖的目的為何?給了哥尼斯堡中四個小島與七座橋相對地理位置的圖片,學生們想像的框架與閱讀理解的範疇是否會被我框住?所以我做出重大調整,正式教學演示時的閱讀文本中拿掉了圖片。我試著用下列詳盡的文字取代圖片描述哥尼斯堡的現況,進而引導七橋問題,讓每位學生彷彿身歷其境,吹拂著波羅的海的海風。

    有一條河─布瑞格河,流經這個城市,將其分割成四個島,個島在中間,上下各一個島。人們建造了7座各具特色的橋,把哥尼斯堡的四個島連成一體。中間其中一個島與其他三個島僅各一座橋連接,中間另一個島則與上下各一個島分別有兩座橋連接。』


     觀課時,當備課夥伴與指導的林素微教授打開閱讀文本時,他們皆驚呼閱讀文本中的圖怎麼不見了?但我們更『驚豔』各組學生在此題討論中所呈現出來讀理解的大相逕庭,如圖2、圖3

    此題討論中,幾乎大多數的學生都能有效閱讀理解文字描述,不然就是在分組合作討論的過程中發現自己的盲點所在。圖5中該組學生的描繪說明了文字的美妙與無限想像空間。文本中『兩個島在中間』,這兩個島一定要一左一右嗎?為何不能一上一下呢?這也是我當初為何決定拿掉圖片的最大原因。唯有單純地給學生文本閱讀,他們才能根據自身的經驗理解與閱讀能力去有效理解文本而讀出屬於他自己的文字價值。

圖2
圖3

    學生畫出簡單示意圖之後,七橋問題的本質粉墨登場。能否從自己所在的小島出發,找出一條路線經過所有的橋,並在每座橋只能走一遍的前提下,,再回到自己的小島呢?透過幾個小題的佈題引導與分組討論,學生們不斷地動筆描繪與合作討論,得出了令人振奮的關鍵突破。有學生藉由實際描繪經驗得出若要回到自己的小島,怎麼走都會少走一座橋;也有學生發現了『進、出』的概念,一旦該小島有奇數座橋通過,這座島最後勢必只能進或出,而最後進或出的島只能各一個,所以當這四個島都有奇數座橋通過,絕對不能達到題目要求。

    一位學生上台發表他所觀察到的結果,如果四個島都有偶數座橋,一定可以回到原點;四個島都有奇數座橋,一定無法回到原點;而無法回到原點,但可以走完所有的橋,一定有兩個島有奇數座橋,因為一進、一出。

    我在課堂結束後詢問這組學生為何會發現『進、出』的概念,他們跟我說,動筆操作描繪的過程中,很明顯可以感受到如此的概念。近年來推廣的數學遊戲,從做中學的精髓不正是如此嗎?讓學生的實作探究取代教師的傳統講述,學生得到的經驗更加刻骨銘心,那是一種屬於他自己的學習成果。

    七橋上遇見歐拉的美妙不正是如此?我們的學生可以在閱讀理解、分組合作討論、教師巡迴引導的過程中充分發揮數學探究的潛能。傳統教學下那一個個呆坐的『人形立牌』對比分組合作學習下那一張張熱情活潑的臉龐,『改變』似乎是教師們無法逃避,需要嚴肅面對的議題。

    議課時,觀課老師們不斷稱讚這位學生的才華能力與敏銳的觀察力。但事實上,這位學生在紙筆考試的測驗成績僅屬於班級中等,沒有令人驚豔的100分,約莫考在90分左右。但100分就是代表整個數學學習的成就與內涵嗎?觀察與分析的能力又豈是紙筆測驗可以完全檢視?教師在課堂教學的過程中,究竟是啟發學生無限想像的思考能力還是扼殺學生那顆探究的心,在這翻轉教育的年代,恐怕你我都要深思!


課堂討論,集思廣益。

後記:學生學習心得摘要

(1)劉昱聖(那位將歐拉結論發現一覽無遺的學生,外號:小歐拉)

七座橋能和數學有什麼關聯呢?但是一深入研究,連這看似簡單的問題都與數學息息相關,數學存在在我們身邊。透過小組討論,我們彼此分享意見,交換想法,一個問題能有許多解法和想法,多多聆聽他人的意見,表達自己的想法,不但可以訓練與人溝通的技巧,還能激盪出更新的創意。

   『三個臭皮匠,勝過一個諸葛亮。用團體力量大的理念,將一個人無法解決的問題,在團體中討論,尋找答案。『我們發現了,當每座島的橋,數量是奇數時,無法達成題目的要求。我們上了講台,抱著興奮的心情向台下所有人分享我們的發現,單純想和大家訴說想法的心情讓我喜悅,我們發現了七橋包含的數學秘密,從來沒想過的數學邏輯原來生活中隨處可見。上台發表,更是口才和臨場反應的訓練,如何有條理的說出報告內容是上台的重點。一邊發表一邊與老師同學互動也是報告的一大樂趣。

    從這次的活動,我們學到的不只是數學家歐拉的七橋結論,我們學的是對數學的認識、尊敬和熱情。

(2)許涵維(班級成績第一名學生)

透過此次老師的示範教學,我感受到『學習共同體』的益處。我們親自動腦思考問題、觀察動手討論,並與彼此分享想法的過程中,我強烈地感受到了數學的奧妙之美、互相分享討論而拉近彼此距離的溫暖。我清楚地知道那是死板無趣的課本所無法帶給我們的感動。

當自己絞盡腦汁地分析觀察後算出答案的那刻,那喜悅、驕傲、成就感更是無與倫比的,而那往往也成為學生自信心及興趣的來源之一。

不過最令我大開眼界、印象深刻的,就是劉昱聖同學在台上幾近完美的表現。老實說身為班上第一名的我剛開始看到他的表現是有那麼一點點的嫉妒,認為『連他都想出來了,為何我還沒?』,但這種好勝高傲的心態經過一個寧靜的夜晚再三反省後,有了改變。我才瞭解他極敏銳的觀察力和超強的推理能力是我需要再學習與加強的,我打從心裡佩服他。

透由此次老師的示範教學,我了解了一句話,『每個人都有其不擅長的,但只要盡其所能去完成他,便沒有甚麼好遺憾的!學習才是教育的目的,而非名利!』

 

 

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